Com s’escriu el 85 com a diferència entre dos quadrats?


Resposta 1:

Solucionaré aquest tipus d’estil de ciències, no d’estudis matemàtics.

Potser la manera més senzilla de trobar una resposta barata ràpida és notar un patró en quadrats consecutius:

2212=41=32^2 - 1^2 = 4–1 = 3

3222=94=53^2 - 2^2 = 9–4 = 5

4232=169=74^2 - 3^2 = 16–9 = 7

És interessant. Els quadrats consecutius difereixen per nombres imparells consecutius? Provem de fer un model:

Per què les diferències entre quadrats consecutius són iguals a la seqüència de nombres imparells ?, a Math Stack Exchange.

D'acord, estic buscant les formes "L" de color taronja. Pot ser un bon model. Val la pena triturar una àlgebra per ajudar-los a esbrinar. A veure si podem trobar una fórmula per a la diferència de quadrats consecutius:

n2(n1)2=n2n2+2n1=2n1n^2 - (n-1)^2 = n^2 -n^2 +2n-1 = 2n-1

Sí. Així doncs, podem mostrar només amb matemàtiques que els quadrats consecutius difereixen per nombres imparells consecutius. No necessitàvem dades ni model. Huh.

De totes maneres, ara només ens queda resoldre

2n1=85.2n-1 = 85.

n=43.n = 43.

Tan

432422=85. 43^2 - 42^2 = 85.

Uh ... lemme apareix una calculadora.

Whew, sí, és així. (Vaig obtenir n = 42 la primera vegada, però la calculadora em va estalviar i vaig editar la meva resposta.)

Aposto que aquesta no és l’única resposta. És només una manera senzilla de trobar una resposta.


Resposta 2:

Suposem que teniu nombres sencers positius A, B de tal manera

A2B2=85A^2 - B^2 = 85

.

Factorització de la diferència dels quadrats:

A2B2=(A+B)(AB)=85A^2-B^2 = (A+B)(A-B)=85

Tenim això

A>BA>B

i això ho tenim

A+B=MA+B = M

AB=NA-B = N

on

MN=85MN = 85

i

M>NM>N

. El 85 només es pot considerar com el 85 * 1 i el 17 * 5.

2A=M+N2A = M+N

i

2B=MN2B = M-N

, tan

M+NM+N

i

MNM-N

han de ser parells, que es produeix només quan M i N són parells o parells.

Generalitzant: si “85” fos algun altre número, doncs l’equació tingués solucions de nombres sencers, “85” hauria de ser imparell (de manera que M i N són parells) o bé “85” caldria divisar per 4 (de manera que es pot triar M i N per ser parells). Si “85” es divisés per 4, M i N haurien de ser tots dos factors parells de “85”.


Resposta 3:

Probablement hi ha algunes maneres de resoldre aquests tipus de problemes, però crec que el següent és el més senzill.

Suposem que hi ha tota una solució i veurem on ens porta això.

Suposem que els dos quadrats són a i b. Aleshores podem escriure: (en els següents 2 significa quadrat)

a2 - b2 = 85

Podem factoritzar el costat esquerre com a (ab) (a + b) de manera que

(ab) (a + b) = 85

Ara busquem factors de 85. Com que el nombre acaba en 5 és divisible per 5. Això dóna 5 * 17. Ambdós són nombres primers, de manera que no hi ha altres factors. Excepte (1 * 85).

Per tant: (ab) (a + b) = 5 * 17

Per tant, podem suposar: (ab) = 5 (a + b) = 17

Si s'afegeix aquest element a l'eliminar b es dóna: 2a = 22, es dóna a = 11

De manera que 11-b = 5 dóna b = 6

Així, a = 11 i b = 6

Per provar: 11 quadrats = 121, 6 quadrats = 36.121 - 36 = 85

Provem la segona possibilitat (1 * 85) :( ab) (a + b) = 1 * 85. (Ab) = 1, (a + b) = 85Aquest dóna 2a = 86 de manera que a = 43 i b = 42

Així doncs, hi ha exactament dues solucions: (1) a = 11 i b = 6 (2) a = 43 i b = 42