Com es podria definir la diferència de potencial entre dos punts d’un camp elèctric i derivar la relació entre el potencial elèctric i la diferència de potencial?


Resposta 1:

First,thereisFaradayslawforelectrostatics.Thissaysthatthecurl×oftheelectricfieldintensity[math]E[/math]iszero.Thatmeanstheelectricfieldmustformessentiallystraightlinesandcannotformloops.First, there is Faraday’s law for electrostatics. This says that the curl \nabla \times of the electric field intensity [math]\vec{E}[/math] is zero. That means the electric field must form essentially straight lines and cannot form loops.

×E=0\nabla \times \vec{E} = 0

En segon lloc, hi ha una identitat del càlcul vectorial que diu que el curl del gradient d'una funció escalar ha de ser zero.

×(V)=0\nabla \times (\nabla V) = 0

El gradient és la velocitat i la direcció de l’increment. Si això té rínxols, donaria voltes sobre si mateix. Com podria una funció envoltar-se sobre si mateixa i augmentar sempre? És impossible i, de fet, va ser dibuixat per un artista anomenat Escher.

Si mireu aquestes dues equacions prou llargament, podeu veure que com que el curl del camp elèctric és zero, hem de ser capaços d’escriure el camp elèctric com el gradient d’una altra funció. A aquesta altra funció anomenem potencial elèctric.

E=V\vec{E} = - \nabla V

Es va afegir un signe negatiu simplement per ser coherent amb la convenció de signes que vam triar que diu que els camps elèctrics s’estenen des del potencial positiu fins al negatiu. Aquesta equació s'utilitza per calcular el camp elèctric atès el potencial elèctric. Per solucionar el potencial elèctric donat el camp elèctric, ens queda més feina per fer.

TheforceFonacharge[math]Q[/math]duetoanappliedelectricfield[math]E[/math]comesfromtheLorentzforcelaw.Forelectricfields,thisisThe force \vec{F} on a charge [math]Q[/math] due to an applied electric field [math]\vec{E}[/math] comes from the Lorentz force law. For electric fields, this is

F=QE\vec{F} = Q \vec{E}

Theworkittakestomovethatsamechargefrompointatopoint[math]b[/math]adistanceof[math]d[/math]isThe work it takes to move that same charge from point a to point [math]b[/math] a distance of [math]d[/math] is

F=Fd=QdE\vec{F} = -|\vec{F}|d = -Qd|\vec{E}|

El signe negatiu d'aquesta equació indica que la força de la càrrega és externa. Aquesta equació es pot generalitzar al treball diferencial realitzat movent la càrrega una petita distància diferencial.

dW=QEddW = -Q \vec{E} \bullet d \vec{\ell}

Thetotalworkmovingthethechargefrompointatopoint[math]b[/math]isobtainedbyintegratingtheaboveexpressionoversomepathfrompoint[math]a[/math]topoint[math]b[/math].Thechoiceofthepathcanbeanythingandmeanderaroundwildlyifyouwish.Usuallythepathischosenthatsimplifiesthemath.The total work moving the the charge from point a to point [math]b[/math] is obtained by integrating the above expression over some path from point [math]a[/math] to point [math]b[/math]. The choice of the path can be anything and meander around wildly if you wish. Usually the path is chosen that simplifies the math.

W=abdW=QabEdW = \int_{a}^{b} dW = Q \int_{a}^{b} \vec{E} \bullet d \vec{\ell}

ThepotentialdifferenceisworkWdividedbycharge[math]Q[/math]andwegetThe potential difference is work W divided by charge [math]Q[/math] and we get

VbVa=WQabEdV_b - V_a = \frac{W}{Q} \int_{a}^{b} \vec{E} \bullet d \vec{\ell}

ThisishowtocalculatepotentialdifferenceVabbetweentopointsgiventheelectricfield[math]E[/math].This is how to calculate potential difference V_{ab} between to points given the electric field [math]\vec{E}[/math].

Si voleu veure això explicat i més coses sobre el potencial elèctric, penseu veure el vídeo de Lecture 4c aquí:

EE3321 EMF | EM Lab

Espero que això ajudi!